Analyse : Dérivation et applications - STMG
Sens de variation
Exercice 1 : Retrouver le graphe de la dérivée depuis le graphe de la fonction
Observer les couples de courbes suivants.
Indiquer dans quels cas \(f'(x)\) peut représenter la dérivée de \(f(x)\).
- A.\(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-6, 6]], "scale": [30.0, 16.666666666666668], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -5.66666666666672 + ((((x) <= -7))?(-x):(((((x) <= -2.0))?(1.82933333333338 - 0.024*Math.pow(x, 4) - 3.416*Math.pow(x, 2) - 8.44800000000001*x - 0.498666666666667*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(5.92866941015095 + 0.112482853223594*Math.pow(x, 3) - 2.16735253772291*x - 0.00754458161865569*Math.pow(x, 4) - 0.1440329218107*Math.pow(x, 2)):(-9.83333333333328 + 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-1):(((((x) <= -2.0))?(-1.0*Math.pow(-0.4 - 0.2*x, 3) + Math.pow(-0.4 - 0.2*x, 2)*(-4.2 - 0.6*x) + 10.0*Math.pow(1.4 + 0.2*x, 2)*(-0.4 - 0.2*x)):(((((x) <= 7.0))?(2.0*Math.pow(0.222222222222222 + 0.111111111111111*x, 3) + Math.pow(0.777777777777778 - 0.111111111111111*x, 2)*(-4.0 - 2.0*x) + 6.0*Math.pow(0.222222222222222 + 0.111111111111111*x, 2)*(0.777777777777778 - 0.111111111111111*x)):(2))))));}", [-5, 5]]]}
- B.\(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-31, 31]], "scale": [30.0, 3.225806451612903], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 7.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 36.3333333333333 + ((((x) <= -7))?(x):(((((x) <= 3.0))?(-23.9528333333333 + 0.0105*Math.pow(x, 4) + 0.150666666666667*Math.pow(x, 3) + 0.0770000000000004*Math.pow(x, 2) - 5.664*x):(((((x) <= 7.0))?(10.3697916666667 + 0.078125*Math.pow(x, 4) + 13.34375*Math.pow(x, 2) - 41.8125*x - 1.72916666666667*Math.pow(x, 3)):(-20.0000000000001 - 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-6, 6]], "scale": [30.0, 16.666666666666668], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((2 + x) <= -7))?(1):(((((2 + x) <= 3.0))?(1.0*Math.pow(0.0999999999999999 - 0.1*x, 3) + Math.pow(0.0999999999999999 - 0.1*x, 2)*(2.7 + 0.3*x) - 40.0*Math.pow(0.9 + 0.1*x, 2)*(0.0999999999999999 - 0.1*x)):(((((2 + x) <= 7.0))?(-2.0*Math.pow(-0.25 + 0.25*x, 3) + Math.pow(1.25 - 0.25*x, 2)*(-4.0 + 4.0*x) - 6.0*Math.pow(-0.25 + 0.25*x, 2)*(1.25 - 0.25*x)):(-2))))));}", [-5, 5]]]}
- C.\(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-12, 12]], "scale": [30.0, 8.333333333333334], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 3.0], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -9.41666666666667 + ((((x) <= -7))?(-3*x):(((((x) <= -2.0))?(13.4913333333333 + 0.532*Math.pow(x, 2) + 2.096*x - 0.002*Math.pow(x, 4) - 0.00266666666666667*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(13.0490397805213 + 1.46227709190672*x + 0.00171467764060357*Math.pow(x, 4) + 0.244855967078189*Math.pow(x, 2) - 0.0356652949245542*Math.pow(x, 3)):(13.1666666666667 + 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-3):(((((x) <= -2.0))?(-3.0*Math.pow(-0.4 - 0.2*x, 3) + Math.pow(-0.4 - 0.2*x, 2)*(-12.6 - 1.8*x) - 5.0*Math.pow(1.4 + 0.2*x, 2)*(-0.4 - 0.2*x)):(((((x) <= 7.0))?(2.0*Math.pow(0.222222222222222 + 0.111111111111111*x, 3) + Math.pow(0.777777777777778 - 0.111111111111111*x, 2)*(2.0 + 1.0*x) + 6.0*Math.pow(0.222222222222222 + 0.111111111111111*x, 2)*(0.777777777777778 - 0.111111111111111*x)):(2))))));}", [-5, 5]]]}
- D.\(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-19, 19]], "scale": [30.0, 5.2631578947368425], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 4.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -33.0 + ((((x) <= -7))?(-3*x):(((((x) <= 3.0))?(22.981 + 3.762*x + 0.0839999999999997*Math.pow(x, 2) - 0.009*Math.pow(x, 4) - 0.122*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(-2.11718749999999 + 1.21875*Math.pow(x, 3) + 30.09375*x - 0.0546875*Math.pow(x, 4) - 9.515625*Math.pow(x, 2)):(22.0 + x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((1 + x) <= -7))?(-3):(((((1 + x) <= 3.0))?(-3.0*Math.pow(0.2 - 0.1*x, 3) + Math.pow(0.2 - 0.1*x, 2)*(-7.2 - 0.9*x) + 30.0*Math.pow(0.8 + 0.1*x, 2)*(0.2 - 0.1*x)):(((((1 + x) <= 7.0))?(1.0*Math.pow(-0.5 + 0.25*x, 3) + Math.pow(1.5 - 0.25*x, 2)*(6.0 - 3.0*x) + 3.0*Math.pow(-0.5 + 0.25*x, 2)*(1.5 - 0.25*x)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
Exercice 2 : Retrouver le graphe de la fonction depuis le graphe de la dérivée
Parmi les paires de courbes suivantes, dans quelle(s) situation(s) la courbe de droite peut-elle
représenter la dérivée de la fonction représentée par la courbe de gauche ?
- A.f'(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-5, 5]], "scale": [30.0, 20.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-3):(((((x) <= 1.0))?(-0.005859375*Math.pow(1 - x, 3) + 0.015625*Math.pow(1 - x, 2)*(-7.875 - 1.125*x) - 18.375*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.125 - 0.125*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.00925925925925926*Math.pow(-1 + x, 3) + 0.166666666666667*Math.pow(-1 + x, 2)*(1.16666666666667 - 0.166666666666667*x) + 1.36111111111111*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-3.0 + 3.0*x)):(2))))));}", [-5, 5]]]}
f(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-22, 22]], "scale": [30.0, 4.545454545454546], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 5.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 7.00000000000001 + ((((x) <= -7))?(-3*x):(((((x) <= 1.0))?(-5.69433593750001 + 0.943359375*Math.pow(x, 2) + 0.0087890625*Math.pow(x, 4) + 0.16796875*Math.pow(x, 3) - 2.42578125*x):(((((x) <= 7.0))?(-5.20601851851853 + 0.0162037037037037*Math.pow(x, 4) + 2.43055555555556*Math.pow(x, 2) - 3.89814814814815*x - 0.342592592592593*Math.pow(x, 3)):(-5.99999999999997 + 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
- B.f'(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(2):(((((x) <= 0.0))?(-0.00583090379008746*Math.pow(x, 3) + 0.0204081632653061*Math.pow(x, 2)*(6.0 + 0.857142857142857*x) - 1.0*x*Math.pow(1.0 + 0.142857142857143*x, 2)):(((((x) <= 7.0))?(-0.00583090379008746*Math.pow(x, 3) - 0.122448979591837*Math.pow(x, 2)*(1 - 0.142857142857143*x) - 1.0*x*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)):(-2))))));}", [-5, 5]]]}
f(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-11, 11]], "scale": [30.0, 9.090909090909092], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 2.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -0.0833333333333339 + ((((x) <= -7))?(2*x):(((((x) <= 0.0))?(-2.91666666666667 - 0.0021865889212828*Math.pow(x, 4) - 0.054421768707483*Math.pow(x, 3) - 0.5*Math.pow(x, 2)):(((((x) <= 7.0))?(-2.91666666666667 + 0.054421768707483*Math.pow(x, 3) - 0.0021865889212828*Math.pow(x, 4) - 0.5*Math.pow(x, 2)):(-2*x))))));}", [-5, 5]]]}
- C.f'(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-2, 2]], "scale": [30.0, 50.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((-1 + x) <= -7))?(-2):(((((-1 + x) <= -1.0))?(-0.00925925925925926*Math.pow(8.88178419700125e-16 - x, 3) + 0.0277777777777778*Math.pow(8.88178419700125e-16 - x, 2)*(-6.0 - 1.0*x) + 12.0*Math.pow(1 + 0.166666666666667*x, 2)*(1.38777878078145e-16 - 0.166666666666667*x)):(((((-1 + x) <= 7.0))?(0.00390625*Math.pow(x, 3) + 0.09375*Math.pow(x, 2)*(1.0 - 0.125*x) - 2.0*x*Math.pow(1 - 0.125*x, 2)):(2))))));}", [-5, 5]]]}
f(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-7, 7]], "scale": [30.0, 14.285714285714286], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -14.0 + ((((x) <= -7))?(-2*x):(((((x) <= -1.0))?(12.7037037037037 - 0.0185185185185185*Math.pow(x, 4) - 1.94444444444444*Math.pow(x, 2) - 0.351851851851852*Math.pow(x, 3) - 2.9074074074074*x):(((((x) <= 7.0))?(13.1881510416667 + 0.158854166666667*Math.pow(x, 3) - 0.009765625*Math.pow(x, 4) - 0.46484375*Math.pow(x, 2) - 1.4453125*x):(-2.66666666666666 + 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
- D.f'(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(1):(((((x) <= -2.0))?(0.0640000000000001*Math.pow(-1 - 0.5*x, 3) + 9.8*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(-0.4 - 0.2*x) + 0.16*Math.pow(-1 - 0.5*x, 2)*(4.2 + 0.6*x)):(((((x) <= 7.0))?(-0.0329218106995885*Math.pow(1 + 0.5*x, 3) + 0.604938271604938*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-2.0 - 1.0*x) - 0.444444444444444*Math.pow(1 + 0.5*x, 2)*(0.777777777777778 - 0.111111111111111*x)):(-3))))));}", [-5, 5]]]}
f(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-15, 15]], "scale": [30.0, 6.666666666666667], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 3.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -0.583333333333333 + ((((x) <= -7))?(x):(((((x) <= -2.0))?(-5.25933333333333 - 1.204*Math.pow(x, 2) - 0.141333333333333*Math.pow(x, 3) - 0.006*Math.pow(x, 4) - 3.312*x):(((((x) <= 7.0))?(-4.13683127572016 + 0.0288065843621399*Math.pow(x, 3) - 0.302469135802469*Math.pow(x, 2) - 0.00102880658436214*Math.pow(x, 4) - 1.58847736625514*x):(-1.66666666666667 - 3*x))))));}", [-5, 5]]]}
Exercice 3 : Établir le tableau de variations d'une fonction du 2e degré (en utilisant la dérivée)
Compléter le tableau de variations de la fonction suivante :
\[ f:x \mapsto x^{2} + 4x + 2 \]
Exercice 4 : Utilisation de la dérivation pour déterminer un bénéfice
Un producteur de cerises cultive, ramasse et conditionne entre 0 et
70 kg de ce produit par semaine durant la période de production
des cerises. On désigne par \( B(x) \) le bénéfice hebdomadaire, en
euros, réalisé par la vente de \( x \) kg de cerises.
La fonction \( B \) est définie sur \( \left[0; 70\right] \) par :
\[ B(x) = -180x^{2} + 3x^{3} + 2700x -4 \]
Calculer \( B'(x) \)
Trouver le couple \( (f,g) \) tel que, pour tout \( x \) de \( \left[0; 70\right] \), \( B'(x) = 9f(x)g(x) \)
Déterminer le tableau de signes de \( f \) sur \( \left[0; 70\right] \)
Déterminer le tableau de signes de \( g \) sur \( \left[0; 70\right] \).
En déduire le tableau de variations de \( B \) sur \( \left[0; 70\right] \).
Pour quelle quantité de cerises le bénéfice du producteur est-il maximal ?
À combien s'élève ce bénéfice ?
Exercice 5 : Tableau de variations de kx², sur [0; 5]
Établir le tableau de variations de la fonction \(f: x \mapsto 2x^{2}\), sur l'intervalle \(\left[0; 5\right]\).